物理学咬文嚼字之九十九：西文科学文献中的数字(下)

作者: 曹则贤 (中国科学院物理研究所)

8 关于多重性的表示

数学上的n-tuple 是n 个元素的序列(sequence)。这个-tuple 的表示，源自拉丁语的plus，或者希腊语的-πλοῦς，意思是多(重)的。二元数(binarion)，可以表示为2-tuple，四元数(quaternion) 可以表示为4-tuple， 八元数(octonion)可以表示为8-tuple，而十六元数(sedenion)可以表示为16-tuple。有代数结构的多元数就这么些选择。如果关注每一个数量表示的重数，则可罗列如下：single (1)，also singleton，sole，only；double (2)， also pair， twice； triple(3)， also triplet， treble， thrice，threesome， troika， trio； quadruple(4)； quintuple or pentuple (5)； sextupleor hextuple (6)； septuple (7)；octuple (8)； nonuple (9)； decuple(10)； hendecuple or undecuple (11)；duodecuple (12) … centuple (100)，等等。

物理上，一个分布，比如极性电荷的分布，其所产生的电磁场可以通过计入其0-阶矩，即总电荷，1-阶矩，即偶极矩(dipole moment)，2-阶矩，即四极矩(quadruple moment)，3-阶矩，即八极矩(octuple moment)…逐次逼近。总电荷为零的体系，其振荡发出电磁波，从偶极矩开始；而非极性的质量分布振荡而产生引力波，是从四极矩开始才可以有。极性的电荷为什么总体上看其零阶矩会为零，非极性的质量振荡是否一定产生引力波，这些问题我都不懂。参照电磁波规范形式凑出来的引力场方程，总给我以不踏实的感觉。至于更进一步的硬凑所导出的引力波问题相应的方程，更是超出我的理解范围。

如果是论及多重的对象，词尾可能是-let (-et)。原子的能级有多重性(multiplicity)，跃迁只发生在具有相同多重性的或多重性相差2 的能级之间。碱金属原子的谱线只有doublets (2，指两条谱线，但字面上只有数字)，碱土金属原子的谱线有singlets (1)和triplets (3)。金属钛则有singlet (1)， triplet (3) 和quintet(5)， 金属钒有doublet (2)， quartet(4)和sextet (6)。七重和八重对应的英文词为septet 和octet。

这一套词汇也出现在多胞胎的表述中，略有改动。一胎生多少孩子的一个表述是数字加词尾-ton。一胎，单胞胎，是singleton。双胞胎， 是doubleton。双胞胎又叫twin，字面意思就是2，分identicaltwins ( 全同双胞胎， 同性别)， 和fraternal twins (父源双胞胎？性别不一定相同)。三胞胎是tripleton，四胞胎是quadruplets，五胞胎是quintuplets，也简化为quins 或quints。2009 年，一位美国妇女生出了八胞胎(octuplets)，其此前的第一胎为六胞胎(sextuplets)。怀八胞胎啥感觉？医生说“你可以将之（负担）设想为单胞(singleton)的八倍增加(eightfold increase)”， 这种想法相当幼稚。Singleton，doubleton 还是桥牌术语里的单张、双张。

多项式或代数方程也是要用到拉丁语数字表示的地方。说到多项式或代数方程，汉语谓“几元几次”。比如二次型， quadrature (字面意思是4。用形说话， 意思是方、平方)，的标准形式，一元的(unary) 形 如 q(x) = ax2 ， 二元的(binary)形如q(x，y) = ax2 + bxy + cy2，三元的(ternary) 形如 q(x，y，z) =ax2 + by2 + cz2 + dxy + eyz + fzx 。一元多项式方程称为monic (1) polynomialequation。就多项式的次(degree)而言，degree 1 是linear (线性的)，degree 2 是quadratic， degree 3是cubic ( 字面不是3。用形说话，立方) ，degree 4 是quartic (如果全为偶次的项， 则是biquadratic，二重平方项)， degree 5 是quintic，degree 6 是sextic ( hexic)， degree 7是septic ( heptic)，degree 8 是octic，degree 9 是nonic，degree 10 是decic。把这些形容词加到方程前，就是一元几次方程的意思， 比如quinticequation 是五次方程。阿贝尔证明了quintic equation 没有代数解，对这个问题的进一步研究带来了群论。注意，quintic equation 没有代数解是说没有代数通解，一些特殊形式的五次代数方程有代数解。五次代数方程可以有其它函数如椭圆函数表示的解。

著名女数学家诺德的博士论文名为Über die Bildung des Formensystemsder ternären biquadratischenForm， 这里含有数字ter-3， bi-2，quadra-4 ( 平方)， biquadratic equation是平方项作为变量的二次型代数方程，形如z4 + a2 z2 + a0 = 0 。这篇论文似应是谈论三元二重平方形式的形式系统之构造。

9 月份与星期中的数字与非数字

一年十二个月和每周七日，是我们使用数字表达的场合。然而，因为文化差异，西方的表述和我们的大不相同。关于月份，中国实行两套历法，中国人提起阳历的月份就是从1 数到12，容易掌握。农历的一月到十二月历史上会留下一些别称，如把一月称为正月和元月(阳历的一月也称元月)，二月称为仲春，三月称为暮春等，这些别称基本上也只是一些文艺人士还在使用。西方(英德法意等语种中)的十二月份名称来源众多，比较复杂。兹以英文为例说明，一月份January，来自希腊神Janus，这老兄是双面人(图9)，同时看前和后，也即过去和未来，故用来命名新旧年交接的第一个月。二月是February，来自拉丁语的februum，赎罪，古罗马的赎罪节在这月里。三月是March， 与战神( 火星) Mars 有关。四月是April， 来自aprilis， apero，有latter，second 的意思，因为罗马历新年从March 开始，故April 的本义是第二月。五月是May，来自希腊女神Maia。六月是June，来自希腊女神Juno，此女是天神朱庇特(Jupiter，木星) 的姐妹和妻子。七月是July， 来自罗马皇帝JuliusCaesar；八月是August，来自罗马皇帝Augustus Caesar。九月(September)、十月(October)、十一月(November)和十二月(December)的词头依次是7 (septem-)，8 (octo-)，9(novem-)和10 (decem-)，因为它们本就是古罗马历的七、八、九、十月。因为两位皇帝的名字把七、八月给占了，这才造成了这个历史遗留问题，给中国人学西文带来了一些困惑。意大利语十二月份名为Gennaio，Febbraio， Marzo， Aprile， Maggio，Giugno，Luglio，Agosto，Settembre，Ottobre，Novembre，Dicembre，德语为Januar， Februar， März，April， Mai， Juni， Juli， August，September， Oktober， November，Dezember，法语为Janvier，Févbrier，Mars， Avril， Mai， Juin， Juillet，Aoûg， Septembre， Octobre， Novembre，Décembre，可见是大同小异。一句话，西语的十二个月，只有后四个月是直观的数字，而且还错位了。

图9 Janus 的形象

至于一周的七日，中文是用星期一至六加上星期日对付的，因为这不是我们文化里有的东西。西方一周的第一日是Sunday，dies solis，day of the sun，星期日(意思是星期中用太阳表示的那天)。第二日，即中文的星期一，是Monday，Lunaedies，day of the moon，星期月。星期二是Tuesday，Martis dies，字面来自北欧的神Tyr，是星期火。星期三是Wednesday，dies Mercurii，字面来自盎格鲁-撒克逊的神Woden，是星期水。星期四是Thursday，Jovisdies，字面来自北欧的神Thunres，是星期木。星期五是Friday，Venerisdies，字面来自女神Frigg，是星期金。星期六是Saturday， Saturnidies，dies sabbati (安息日)，字面来自希腊神Saturn，是星期土。德语星期七日的说法是Sonntag，Montag， Dienstag， Mittwoch ( 周中)，Donnerstag，Freitag，Samstag，其中除星期三以外六个与英文严格对应。法语的说法是dimanche，lundi， mardi， mercredi， jeudi，vendredi，samedi。比较来看，拉丁语的说法才真是“星”期，一星期七日是dies solis， dies lunae， diesmartis， dies mercurii， dies jovis，dies veneris，dies saturni，对应中文的日—月—火—水—木—金—土各星。我们若是在英文文章中谈论星期几是该星期的第几日时，请注意这里中文与西文的不一致。

10 具有特殊意义的数字

有些数是有特殊意义的。比如Platonic solids (正多面体)，就只有tetrahedron (4-面)，cube，octahedron(8-面)，dodecahedron (12-面)，icosahedron(20-面)。Icosa-，20，来自希腊语的είκοσι (eicosi )。Cube，立方体，是按照形状来描述数的残留痕迹。若按照其它几个正多面体的构词方式， 它应该是hexadron(6-面)。柏拉图在《蒂迈欧》一书中猜测元素(风、火、水、土和天上的quintessence，第五种存在)的形状就是这样的，开普勒用它们构造宇宙的模型。当电镜使得观察微晶粒成为可能时，人们发现这些正多面体确实是完美晶粒的外形。正多面体着落到4，6，8，12，20 上是拓扑的要求。正多面体允许边数最多的面是五边形，由五边形构成的正十二面体，人类在四千年前就制作出来了(图10)。不过，为什么要用石头制作正多（曲）面体，十分费解。

图10 在苏格兰出土的人类四千多年前用石头制作的正多面体

三体问题(three-body problem)，logistic equation 的周期三(period 3)解的出现，都意味着混沌。

对平面图的任意分割形式，四种颜色就足以让接壤的(adjacent)两块区域总有不同的颜色。这就是著名的四色定理。此定理于1852 年被提出，于1976 年被证明，但是其证明方法仍然受质疑。

晶体允许n=1，2，3，4，6 次转动轴的存在， 5 次转动轴因为和平移对称性冲突，故不被允许。但是，5 和黄金分割数(golden ratio)相关联，黄金分割数φ = 0.5 × 50.5 - 0.5 。在准晶情形(即傅里叶变换依然是格点分布的格点分布)，允许的转动轴为n=1， 2， 3， 4， 6， 5， 10，8，，12 次。八次准晶和白银分割数(silver ratio) λ = √2 - 1 有关，十二次准晶和白金分割数(platinum ratio)μ = 2 - √3 有关。

六角密堆积(hexagonal closepacking) 是大自然最炫酷的图案。Alex Thue 关于六角密堆积是最有效堆积方式的证明，笔者认为其乃是最天才的、最简洁明了又有深刻影响的几何证明，不输于牛顿的关于椭圆是受平方反比律引力之行星的可能轨道的平面几何证明。