有一位教师同行问到了下面这样一个问题:
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已知f(x)为二次函数,对任意的二次函数f(x)和实数t,关于x的方程f(|x-t|)=0的解集不可能是()
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A.{1,2} B.{1,3}
C.{1,2,3} D.{1,2,4}
咋一看,觉得很奇怪,不知道这道题要考什么?
那我们学学华罗庚,退几步,考虑最特殊的二次函数f(x)=x^2.
那么f(|x-t|)=|x-t|^2,它的图象是关于x=t对称的.
将函数构造的复杂一些,考虑f(x)=x^2+x,则f(|x-t|)=|x-t|^2+|x-t|,它的图象还是关于x=t对称的.
最后,我们发现,不管是哪个样子的二次函数,f(|x-t|)都是关于x=t对称的.
既然函数图象关于x=t对称,那么函数的零点也必然关于x=t对称.
考察选项A:若t=1.5,,是可能的.
考察选项B:若t=2,也是可能的.
考察选项C:若t=2,则1,2,3也是关于2对称的.
考察选项D:零点个数是奇数个,则中间的2必然是对称轴,即t=2,可是剩余的1,4并不关于x=2对称.故选D.
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